一位18岁少年写的数学论文，提交到科学院却没被重视，后来少年死了24年之后，才发现是顶级宝藏！

大家好，我是科学羊！这里第4季数学专栏之密码学17篇。

今天，我们继续谈一个了不起人物以及他的数学发现，这个人物其实我们之前在数学第二季专门谈过，但是他在密码学里也是一个非常重要的人物，他就是群论的创始人——伽罗瓦。

伽罗瓦，如果您还记得，他在现代密码学的核心技术RSA加密中，群论发挥了至关重要的作用。

埃瓦里斯特·伽罗瓦15岁时的素描，来自wiki

伽罗瓦，尽管命途多舛，却是群论历史上最为关键的数学家之一。

伽罗瓦的一生充满传奇，他在21岁那年，因一场枪战而英年早逝。

他的生命虽短暂，但他对数学的贡献，尤其是群论的创建，赋予了数学以浪漫的色彩。

好，接下来我们仔细谈谈这个人的故事！

01

让我们先从伽罗瓦的生平讲起。

也许，你可能不知道，其实在伽罗瓦短暂的21年生命里，他的数学研究生涯只占据了最后五年。

在此之前，他与其他孩子无异，经历着上学、放学、完成作业的日常。

然而，不幸的是，他所生活的时代是动荡不安的，想要作为一个学生幸福快乐地生活，那是不可能的！

懂点历史的人都知道，伽罗瓦出生的时期正值拿破仑帝国的兴衰更替。

他出生前七年，拿破仑称帝；

3岁那年，拿破仑被赶下台；

4岁时，拿破仑再度夺权；

到了5岁，拿破仑终于被彻底击败，波旁王朝得以恢复。

从那以后直至伽罗瓦去世的那一刻，法国民众持续强烈反抗波旁王朝的专制统治。

当他19岁时，七月ge命爆发，终结了法国的专制统治，国家转向君主立宪制。

在伽罗瓦11岁前，他的教育完全由母亲在家中承担。

随后，为了更好地保护他在政zhi动荡中的安全，家人将他送往一所实行军事化管理的寄宿学校。

这种学校的环境虽严格，但确实能够有效避免学生被外界舆论煽动，走上街头成为无辜的牺牲品。

在这所学校，伽罗瓦的学习成绩极为优异，本可以提前一年毕业，但因为校长认为他年纪尚小，未获得同意。

因此，他在中学的最后一年，实际上是重复了初三的学习。

正是在这一年，伽罗瓦才开始了他的数学研究，由于多出的空闲时间，再加上遇到了一位出色的老师维纳（M. Vernier），他的数学之旅正式启程。

当时的法国初中生学习的数学内容与我们现在相差不大，基本到二元一次方程的解。

但在维纳的悉心指导下，伽罗瓦迅速掌握了这些基础知识，并开始探索更深层次的方程解的性质，这最终成为他作为数学家的研究核心。

02

尽管只有14岁，伽罗瓦在数学上的成就已显著超越其年龄，但他还需完成高中并面对大学的挑战。

伽罗瓦自幼便掌握了许多现代数学的知识，14岁时开始深入研究，导致他在其他科目的成绩较差。

因此，他第一次尝试进入法国顶尖的巴黎综合技术学院时未能成功，这所学院在法国的地位可比之中国的清华大学。

之后，他复读一年，希望通过再次尝试获得入学机会。

得益于老师的强烈推荐，他获得了单独口试的机会。

然而，由于伽罗瓦对简单问题的深入回答，忽略了基础步骤，导致面试官无法理解，最终双方产生了严重的误解。

据传，伽罗瓦在激动之下将擦黑板的抹布扔向了面试官，自然，他这次又未能通过考试。

根据学校的规定，两次考试不通过者将不再被录取。

于是，伽罗瓦无法再次尝试，只能选择报考该学院的附属师范学院。

在备考师范学院的过程中，伽罗瓦完成了他的首篇重要学术论文，关于方程正整数根的分析，并首次提出了“群”这一划时代的数学概念。

你必须得知道的就是，有个学术背景：从1500s开始，欧洲数学重新回到了古希腊年代的巅峰水平，当时一个很热门的问题就是怎么解方程。

也就是说，数学家们热衷于解决方程求根的问题。

在伽罗瓦诞生之前，数学家们已经找到了二次、三次和四次方程的求根公式。

例如，我们熟知的二次方程求根公式

虽然三次和四次方程也有类似的公式，但由于其复杂度，通常不要求学生背诵。

然而，数学家们在尝试解决五次及以上方程的求根公式时遇到了难题。

伽罗瓦的研究正是围绕这一问题展开的。

他的第一项重要成果是证明五次方程并非总有通用的求根公式；

他的第二项突破，则是利用他自创的“群”理论，分析了方程在何种特征下存在求根公式。

这种以他命名的“伽罗瓦群”后来成为了群论研究中的核心概念。

03

什么是群？

群

“群”是一个数学概念，它由四个基本特性定义：

封闭性

结合律

单位元

逆元

这些属性听起来很抽象，可能难以理解其深层美感，因此我们从一个新的角度来探索群的独特魅力，以及它如何帮助我们深入理解事物的本质。

群是一种用于抽象并揭示对象基本属性的工具。

以正方体为例，我们可以通过以下三个简单问题来感受群的功能：

（1）正方体共有多少面，每个面由几条边构成？答案是6个面，每面4条边。

（2）正方体共有多少条边，每条边由几个顶点构成？答案是12条边，每边2个顶点。

（3）正方体共有多少个顶点，每个顶点由几个面交汇形成？答案是8个顶点，每个顶点由3个面交汇。

这些问题看似简单，乃至小学生也能回答，但有趣的是这三组答案的乘积都恰好是24（3组数，分别是6和4、12和2、8和3，它们的乘积都是24）。

这并非巧合，而是揭示了正方体的对称性及排列可能性的总数——24种。

再看另一个例子：

如何排列四个不同的小球？

我们从左到右放置，第一个位置有4种选择，第二个位置剩下3种，依此类推，直到最后一个位置。

计算得出，排列方式总数也是24种。

问题是：正方体的摆放的方式和小球的排列方式都是24，两个24有什么内在关联吗？

其实是有的。它们的关联就是，它们的数学结构相同。

这些内容，就可以通过群论分析出来。

简单的说：

伽罗瓦的一生和学术之路充满戏剧性。

他年仅18岁时提交的论文，由于处理者柯西和傅里叶的忽视及意外去世，未能得到应有的关注，导致伽罗瓦错失学术发展的关键机会。

除此之外，伽罗瓦的激进性格和社会参与也为他的生活带来了剧烈波动。他因反抗校规而被学校开除，并在社会活动中多次被捕。

尤其在1832年，伽罗瓦在关键的生命最后几日中完善了他的群论思想，并在一场因情仇引发的决斗中不幸身亡。

他的朋友奥古斯特后来整理并寄出了他的手稿，得到了数学家刘维尔的重视，最终在1846年发布，为群论的发展奠定了基础。

十年后，群论已被广泛教授，而伽罗瓦的贡献也开始得到认可，但这一切的确立，是在他去世后24年才实现的。

关于伽罗瓦的详细故事 ⬇️

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/04/23

祝幸福~

参考文献

[1]. https://www.dedao.cn/course/article?id=Lpy0edZAG5mnK03nWXzD9BkoajY4xM

[2]. 卓克*科技参考

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